Математика:
|
Обозначения
|
Математика.
|
|
|
Действия со степенями
|
Математика.
|
Для любых x, у € R и а >О, b > О имеют место равенства.
|
|
Формулы сокращенного умножения
|
Математика.
|
|
|
Преобразование арифметических корней
|
Математика.
|
|
|
Числовые неравенства и их свойства
|
Математика.
|
По определению a < b, если a — b < 0. Неравенство b > a равносильно неравенству a < b. Это строгие неравенства.
|
|
Логарифмы и их преобразование
|
Математика.
|
|
|
Квадратное уравнение, квадратный трехчлен, формулы Виета
|
Математика.
|
|
|
Показательная функция, ее свойства и график
|
Математика.
|
Показательная функция у = ax (а > 0) определена при всех x € R и обладает свойствами.
|
|
Логарифмическая функция, ее свойства и график
|
Математика.
|
Логарифмическая функция у = loga x (а > 0, a # 1 ) определена только при х > 0 (у = loga x <=> х = аy) и обладает следующими свойствами.
|
|
Области определения степенных функций
|
Математика.
|
|
|
Решение уравнений
|
Математика.
|
При решении уравнении или неравенств чаше всего данное уравнение заменяется более простым равносильным уравнением. Паша цель состоит только в том, чтобы указать на некоторые наиболее эффективные такие замены.
|
|
Простейшие неравенства, содержащие знак модуля
|
Математика.
|
Простейшие неравенства с одним модулем можно решить способом раскрытия модуля но определению, по можно их свисти к простым системам или совокупности систем более коротким способом.
|
|
Иррациональные неравенства
|
Математика.
|
Основные иррациональные неравенства сводятся к системе или совокупности систем рациональных неравенств. Здесь мы ограничимся двумя неравенствами, содержащими только квадратные корни.
|
|
Показательные неравенства
|
Математика.
|
Решения основных показательных неравенств, помешенных в таблице, вытекают из свойств монотонности показательной функции. Ниже X — неизвестная или выражение.
|
|
Логарифмические неравенства
|
Математика.
|
Решения основных логарифмических неравенств, пометенных в таблице, вытекают из свойств монотонности логарифмической функции. Ниже X — неизвестная или выражение, М > О, N > 0.
|
|
Решение неравенств. Метод интервалов
|
Математика.
|
Целесообразно описать волну знаков стандартной рациональной функции и применение ее к методу интервалов.
|
|
Определение тригонометрических функций
|
Математика.
|
|
|
Свойства тригонометрических функций
|
Математика.
|
|
|
Тригонометрические формулы
|
Математика.
|
|
|
Основные тригонометрические уравнения
|
Математика.
|
Простейшие тригонометрические уравнения в общем случае решаются ни следующим формулам.
|
|
Основные определения, теоремы и формулы планиметрии
|
Математика.
|
|
|
Основные сведения из стереометрии
|
Математика.
|
Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей и этой плоскости.
|
|
Метод координат
|
Математика.
|
|
|
Векторы
|
Математика.
|
Вектором называется направленный отрезок. Длина соответствующего отрезка называется модулем вектора.
|
|
Дифференцирование
|
Математика.
|
Нахождение производных (дифференцирование) функций выполняется по определенным формулам и правилам, доказываемым в соответствующих учебниках.
|
|
Применение первой производной
|
Математика.
|
|
|
Последовательность. Прогрессии
|
Математика.
|
|
|
Интегрирование
|
Математика.
|
|
|
Взаимное расположение двух прямых в пространстве
|
Математика.
|
Взаимное расположение двух прямых и пространстве характеризуется следующими тремя возможностями.
|
|
Касательная плоскость к шару
|
Математика.
|
|
|
Взаимное расположение двух плоскостей (формулировки и примеры)
|
Математика.
|
Взаимное расположение двух плоскостей характеризуется двумя возможностями.
|
|
Перпендикулярность прямой и плоскости
|
Математика.
|
|
|
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве (формулировки и примеры)
|
Математика.
|
|
|
Объем цилиндра
|
Математика.
|
|
|
Свойства параллельных плоскостей
|
Математика.
|
Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны.
|
|
Теорема о боковой поверхности прямой призмы
|
Математика.
|
Многогранник, составленный из двух равных многоугольников А1, А2 ... Аn и В1, В2,... Вn, расположенных в параллельных плоскостях и n параллелограммов, называется призмой.
|
|
Перпендикуляр и наклонная плоскости
|
Математика.
|
|
|
Свойство противолежащих граней параллелепипеда
|
Математика.
|
|
|
Расстояние между скрещивающимися прямыми (формулировка и пример)
|
Математика.
|
Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок, концы которого лежат на этих прямых, и он перпендикулярен каждой из этих прямых.
|
|
Площадь боковой поверхности конуса
|
Математика.
|
|
|
Угол между скрещивающимися прямыми (формулировка и пример)
|
Математика.
|
Любые две пересекающиеся прямые расположены в одной плоскости и образуют две пары смежных углов. Меньший из этих углов называется углом между пересекающимися прямыми.
|
|
Угол между прямой и плоскостью (формулировка и пример)
|
Математика.
|
|
|
Объем призмы
|
Математика.
|
|
|
Объем пирамиды
|
Математика.
|
Объем пирамиды равен одной третьей произведения площади основания пирамиды на длину ее высоты.
|
|
Угол между двумя плоскостями (формулировка и пример)
|
Математика.
|
|
|
Площадь сферы
|
Математика.
|
Около сферы можно описать многогранник с достаточно большим числом граней, объем которого будет достаточно точно выражать объем шара (равного ), а площадь боковой поверхности многогранника — площадь сферы.
|
|
Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла (формулировка и примеры)
|
Математика.
|
Две полуплоскости, имеющие общую граничную прямую и не лежащие в одной плоскости, называются двугранным углом. Эти полуплоскости называются гранями двугранного угла, а их общая граничная прямая — ребром угла.
|
|
Теорема о боковой поверхности правильной пирамиды
|
Математика.
|
Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник, а основание ее высоты совпадает с центром этого многоугольника. Под центром многоугольника понимается центр вписанной или описанной окружностей.
|
|
Трехгранный и многогранный углы (формулировки и примеры)
|
Математика.
|
|
|
Площадь боковой поверхности цилиндра
|
Математика.
|
|
|
Призма
|
Математика.
|
Призма — частный случаи многогранника. Для получения призмы необходимо взять два многоугольника в плоскостях || , причем многоугольники должны быть совмещенными при параллельном переносе, и соответствующие вершины соединить отрезками.
|
|
Признак перпендикулярности плоскостей
|
Математика.
|
Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром: пары вертикальных углов равны, а сумма двух смежных углов равна 180°. Если один из четырех углов прямой, то три остальных также равны и прямые. Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними прямой.
|
|
Прямая и правильная призма (формулировки и примеры)
|
Математика.
|
|
|
Свойства перпендикулярных прямой и плоскости (доказательство одного из них)
|
Математика.
|
|
|
Параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед (формулировки и примеры)
|
Математика.
|
Параллелепипед можно считать пространственным аналогом параллелограмма. Параллелепипед -- это четырехугольная призма, у которой все грани — параллелограммы. Параллелепипед называется прямоугольным, если все его грани прямоугольники.
|
|
Признак параллельности плоскостей
|
Математика.
|
Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются (не имеют общих точек). Признак параллельности двух плоскостей выражается следующей теоремой.
|
|
Пирамида
|
Математика.
|
|
|
Объем конуса
|
Математика.
|
|
|
Правильная пирамида (формулировки и примеры)
|
Математика.
|
|
|
Цилиндр
|
Математика.
|
|
|
Свойства изображения пространственных фигур на плоскости
|
Математика.
|
Пространственные фигуры мы изображаем на плоскости (на бумаге, доске и пр.), используя параллельное проектирование.
|
|
Признак параллельности прямой и плоскости
|
Математика.
|
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются (не имеют общих точек).
|
|
Конус (формулировки и примеры)
|
Математика.
|
|
|
Признак параллельности прямых
|
Математика.
|
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Через точку вне данной прямой можно пронести прямую, параллельную этой пряиой, и притом только одну.
|
|
Сфера и шар (формулировки и примеры)
|
Математика.
|
Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии R от данной точки О.
|
|
Теорема о трех перпендикулярах
|
Математика.
|
|
|
Задача 1
|
Математика.
|
В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12 см. а апофема — 15 см. Найти боковое ребро.
|
|
Задача 2
|
Математика.
|
Прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 17 см, а один из катетов — 8 см, вращается около этого катета. Найдите площадь поверхности тела вращения.
|
|
Задача 3
|
Математика.
|
В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 4 см. а сторона основания — 6 см. Найдите объем пирамиды.
|
|
Задача 4
|
Математика.
|
Образующая конуса, наклонена к плоскости основании под углом 30°, а его высота раина 12 см. Найдите площадь его боковой поверхности.
|
|
Задача 5
|
Математика.
|
Найдите площадь сечения шара радиуса 41 см, проведенною на расстоянии 9 см от центра.
|
|
Задача 6
|
Математика.
|
В основани пирамиды лежит прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 15 см, а один Hi катетом — 9 см, Найдите площадь сечения, проведенною через середину высоты пирамиды параллельно ее основанию.
|
|
Задача 7
|
Математика.
|
В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 10 см, а высота — 12 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
|
|
Задача 8
|
Математика.
|
Высота прямой призмы равна 10 см, а ее основанием является прямоугольник, стороны которого равны 8 см и 6 см. Найдите плошадь диагонального сечения.
|
|
Задача 9
|
Математика.
|
В правильной четырехугольной пирамиде высота равная 7 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°. Найдите объем пирамиды.
|
|
Задача 10
|
Математика.
|
Прямоугольник, стороны которого равны 6 см и 4 см, вращается около меньшей стороны. Найдите площадь поверхности тела вращения.
|
|
Задача 11
|
Математика.
|
Основание четырехугольной призмы — квадрат со стороной 10 см, высота призмы 12 см. Диагональное сечение разбивает данную призму на две треугольные призмы. Найдите площади боковых поверхностей треугольных призм.
|
|
Задача 12
|
Математика.
|
Радиус основания конуса равен 14 см. Найдите площадь сечения, проведенного перпендикулярно его оси через ее середину.
|
|
Задача 13
|
Математика.
|
Шар с центром в точке О касается плоскости и точке A. Точка лежит и плоскости касания. Найдите объем шара. если AB = 21 см. а BO = 29 см.
|
|
Задача 14
|
Математика.
|
Сферу на расстоянии 8 см от центра пересекает плоскость. Радиус сечения ранен 15 см. Найдите площадь сферы.
|
|
Задача 15
|
Математика.
|
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 проведено сечение через вершину С1и ребро АB. Найдите периметр сечения. Если сторона основании равна 24 см, а боковое ребро = 10 см.
|
|
Задача 16
|
Математика.
|
Осевым сечением цилиндр является, квадрат, диагональ которого равна см. Найдите площадь поверхности цилиндра.
|
|
Задача 17
|
Математика.
|
В основании прямого параллелепипеда лежит ромб, диагонали которого равны 12 см и 16 см. Высота параллелепипеда равна 8 см. Найдите площадь его полной поверхности.
|
|
Задача 18
|
Математика.
|
В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 5 см и 12 см, а диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите высоту параллелепипеда.
|
|
Задача 19
|
Математика.
|
В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 12 см, а апофема — 15 см. Найдите боковое ребро пирамиды.
|
|