Обозначения:
 AВС — треугольник с вершинами
А, B, С. а = BC, b = AС, с = АB — его стороны, соответственно, медиана,
биссектриса, высота, проведенные к стороне а, Р - периметр,
 — полупериметр, R и r — радиусы
соответственно описанном и вписанной окружностей.
S -- площадь фигуры, d1,d2
-— диагонали четырехугольника,
 — угол между прямыми a и b;
 — знаки, параллельности. пендикулярности,
подобия соответственно.
О — определение, Т — теорема.
Т—1. (Признаки параллельности прямых, рис.
(6).
Две прямые параллельны, если:
- внутренние накрест лежащие углы равны: < 3 = < 5;
- внешние накрест лежащие УГЛЫ равны: < 1 = < 7;
- соответственные углы равны: <1 = < 5;
- сумма внутренних односторонних углов равна 180°:
< 2 + < 5= 180°;
- сумма внешних односторонних углов равна 180°:
< 1 + < 6
= 180°.
О-1. А1В1С1',
~ АВС (k - коэффициент подобия),
если их стороны пропорциональны, а соотиетствепныг углы равны (рис. 7):
Т—2 (признаки подобия).
Два треугольника подобны, если:
- дня угла одного равны
двум углам другого ;
- дне стороны одного пропорциональны
двум сторонам другого , а
углы, заключенные между этими сторонами, равны;
- три стороны одного пропорциональны
трем сторонам другого .
Т—3. В подобных треугольниках пропорциональны
все их линейные элементы (с одним и тем же k): стороны, медианы, биссектрисы,
высоты, радиусы вписанных и описанных окружностей и пр.
Т—4 (Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие
стороны угла, отсекают от них пропорциональные отрезки (рис. 8):
Т—5. Сумма углов треугольника равна 180°.
Т—6. Три медианы треугольника пересекаются
в одной точке, которая делит каждую медиану на части в отношении 2 : 1,
считая от вершины (см. рис. 9):
Т—7. Средняя линия треугольника, соединяющая
середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине
(рис. 10):
Т—8. Биссектриса внутреннего угла треугольника
делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам:
BD : СD = АВ : AС (см. рис. 11).
Т—9. Вписанный угол (образованный двумя хордами,
исходящими и:> одной. точки окружности) измеряется половиной дуги,
на которую он,опирается (рис. 12):
Т-10. Центральный угол, образованный двумя
радиусами окружности, измеряется дугой, на которую он опирается (см. рис.
12):
Т—11. Угол между касательной и хордой, проведенной
через точку касания, измеряется половиной дуги, заключенной между его
сторонами (рис. 13):
Т—12. Угол между двумя секущими с вершиной
вне окружности измеряется полуразностыо двух дуг, заключенных между его
сторонами (рис. 14):
Т—13. Касательные, проведенные к окружности
из общей точки, расположенной вне окружности, равны: В А = ВС. Угол между
двумя касательными (описанный угол) измеряется полуразностыо большей,
и меньшей дуг, заключенных между точками касания (рис. 15):
Т—14. Угол между двумя хордами с вершиной
внутри круга измеряется полусуммой двух дуг, одна из которых заключена
между его сторонами,
другая — между их продолжениями (рис. 16):
Т—15. Если две хорды пересекаются внутри
круги, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков
другой (см. рис. 16):
АО • ОB =
СО • OD.
Т—16. Если из точки вне круга проведены
касательная и секущая, то квадрат касательной равен произведению отрезка
секущей на ее внешнюю часть (рис. 17):
Т—17. В прямоугольном треугольнике (а, b
-- катеты, с — гипотенуза. h — высота, опущенная на гипотенузу, аc,
bc
— проекции катетов па гипотенузу) имеют место (рис. 18):
1. формула Пифагора:
c2
= a2
+ b2
2. формулы
3. определение тригонометрических величин (функций) острых углов:
4. формулы решения прямоугольного треугольника:
5. центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит
на середине гипотенузы и
Т—18 (теорема синусов).
В произвольном треугольнике (рис. 19)
Т-19 (теорема косинусов).
В произвольном треугольнике (рис. 19):
Т—20. Сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма
равна сумме квадратов длин его сторон:
Т—21. Центр окружности, описанной в угол,
лежит на биссектрисе этого угла. Радиус окружности перпендикулярен стороне
угла и точке касания. Центр окружности, вписанной в треугольник, находится
в точке пересечения биссектрис углов треугольника.
Т—22. Центр окружности, описанной около
треугольника, расположен в точке пересечения серединных перпендикуляров
к сторонам.
Т—23. В описанном около окружности четырехугольнике
суммы противоположных сторон равны. В частности, если равнобочная трапеция
описана около окружности, то ее средняя линия равна боковой стороне.
Т—24. Во вписанном в окружность четырехугольнике
суммы противоположных углов равны 180°.
Т—25. Площадь треугольника равна
T—26. В правильном треугольнике со стороной
a:
Т—27. В правильном n-угольнике (an
— сторона n-угольника, R — радиус описанной, r — радиус вписанной окружности):
Т—28. Площади подобных треугольников относятся
как квадраты сходственных сторон.
О-2. Две фигуры называются равновеликими,
если их площади одинаковы.
Т—29. Медиана делит треугольник на две равновеликие
части. Три медианы делят треугольник на шесть равновеликих частей. Отрезки,
соединяющие точку пересечения медиан с вершинами, делят треугольник на
три равновеликие части.
Т—30. В произвольном треугольнике длина
медианы вычисляется следующим образом (рис. 19):
Т—31. Формулы площадей четырехугольников:
• квадрата со стороной a:
S = a2;
• прямоугольника со сторонами н. н li:
S = a • b;
• параллелограмма со сторонами а и b:
• ромба со стороной а и острым углом 
между сторонами:
• трапеции с основаниями a и b:
• выпуклого четырехугольника:
Т-32. Другие формулы:
• площадь многоугольника, описанного около окружности радиуса r:
S = p • r;
• площадь круга радиуса R:
• площадь сектора раствора °
( рaд):
• длина окружности радиуса R:
• длина дуги и °
или рад:
|
