Площадь сферы радиуса R вычисляется по формуле
Около сферы можно описать многогранник с достаточно большим числом граней,
объем которого будет достаточно точно выражать объем шара (равного  ),
а площадь боковой поверхности многогранника — площадь сферы. На рис. 43
показан куб, описанный около сферы. Рассмотрим одну грань описанного многоугольника.
Пирамида, полученная соединением вершин этой грани многогранника с центром
сферы, и часть шара, заключенного в этой пирамиде, являются элементами,
участвующими в дальнейших рассуждениях и расчетах.
С одной стороны, объем V этой пирамиды высотой R равен
где Sоснов
— площадь соответствующей грани многогранника. Объем всего многогранника
равен сумме объемов таких пирамид с одинаковой высотой R. Сумма их объемов
равна
Sбок
— площадь боковой поверхности многогранника. С другой стороны, сумма объемов
элементов шара равна объему всего шара, равного
Площадь Sбок
приближенно равна площади сферы S, а объем многогранника
приближенно равен объему шара. Таким образом,
 
Эти равенства тем точнее, чем большее число граней многогранника. Значит,
Так как в этой формуле но участвуют величины, связанные с многогранником,
то формула точна, т. е.
|
