Две прямые в пространстве называются параллельными, если
они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Через точку вне данной
прямой можно пронести прямую, параллельную этой пряиой, и притом только
одну.
Это утверждение сводится к аксиоме о параллельных в плоскости.
Теорема. Две прямые, параллельные третьей
прямой, параллельны.
Пусть прямые b и с параллельны прямой а. Падо доказать, что b || с.
Случай, когда прямые а, b и с лежат и одной плоскости, рассмотрен в планиметрии,
его опускаем. Предположим, что а, b и с не лежит в одной плоскости. Но
так как две параллельные прямые расположены в одной плоскости, то можно
считать, что а и b расположены и плоскости  ,
a b и с -- в плоскости  (рис.
61). На прямой с отметим точку (любую) М и через прямую b и точку M проведем
плоскость  . Она, ,
пересекает по прямой l. Прямая
l не пересекает плоскость , так
как если l пересекала бы , то
точка их пересечения должна лежать на а (а и l — в одной плоскости) и
на b (b и l — в одной плоскости). Таким образом, одна точка пересечения
l и должна лежать и на прямой
а, и на прямой b, что невозможно: а || b. Следовательно, а || ,
l || а, l || b. Поскольку a и l лежат в одной плоскости ,
то l совпадает с прямой с (по аксиоме параллельности), а значит, с ||
b. Теорема доказана.
|
