Дана плоскость
и некоторая наклонная а к этой плоскости. Пусть а1
- проекция прямой а на плоскость ,
причем наклонная а пересекает
в точке О (О - основание наклонной), а значит, проекция а1
также проходит через О. Пусть b — некоторая прямая плоскости ,
проходящая через О перпендикулярно к а1
(или а). Тогда b перпендикулярна и прямой a (или а1).
Эти утверждения составляют содержание теоремы о трех перпендикулярах (или
обратная к ней теорема).
Теорема. Если прямая, проведенная на плоскости
через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна
и самой наклонной. И обратно, если прямая на плоскости перпендикулярна
наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.
Дана наклонная МО с проекцией NO и MN _|_ ,
в частности, MN _|_ NO (рис. 63).
Дано: PQ _|_ NO (т.е. PQ _|_ а1).
Надо доказать, что PQ _|_ МО (PQ _|_ а).
а) Через точку О проводим прямую ОТ, перпендикулярную плоскости .
Тогда ОТ || MN, т.к. и MN _|_
и ОТ _|_ . Прямые ОТ и ON образуют
плоскость  , и PQ перпендикулярна
этой плоскости, ибо PQ _|_ ON и PQ _|_ ОТ. Значит, PQ _|_ ОМ, т. е. b
_|_ а, т.к. ОM — прямая из плоскости .
Аналогично доказывается и обратная теорема. Если b _|_ а и b _|_ ОТ,
то b _|_ (проходящей через ОТ
и ОМ), а значит, и проекции а1,
принадлежащей этой плоскости .
Теорема доказана.
|
